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2024年11月16日晚备受瞩目的美国青年埃文·凯尔抵达中国，开始了他的中国之旅。两年前，他因无偿捐赠记录日本侵华罪行的珍贵二战相册给中国而广受赞誉，成为全球焦点。2022年，埃文在整理典当行物品时发现了这本相册，并在社交媒体上表达了为它寻找合适归宿的愿望。尽管遭遇高价购买、网络暴力和多次死亡威胁，他还是将相册捐赠给了中国驻芝加哥总领事馆，作为回报他收到了中国的“国礼瓷”。 在北京，埃文计划停留一个月，期间将访问北京、天津、上海、南京等多个城市，探寻相册中记录的地方在现实中的变化。他首先参加了天安门广场的升旗仪式,并受到中国人民的热情欢迎。在中国社交媒体上涌入上千万粉丝的埃文，收到了多地网友的邀请和礼物，几十万人表示愿意请他吃饭。通过翻译器，他与中国网友沟通并用中文发帖，表达了对中国的深厚兴趣和对此次旅行的期待。

（广东2006理数T20） $A$ 是定义在 $[2,4]$ 上且满足如下条件的函数 $\varphi(x)$ 组成的集合：

1. 对于任意的 $x\in[1,2]$ ，都有 $\varphi(2x)\in(1,2)$ ；
2. 存在常数 $L(0<L<1)$ ，使得对任意的 $x_1,x_2\in[1,2]$ ，都有 $|\varphi(2x_1)-\varphi(2x_2)|\leq L|x_1-x_2|$ .

（1）设 $\varphi(2x)=\sqrt[3]{1+x},x\in[2,4]$ ，证明： $\varphi(x)\in A$ ；

（2）设 $\varphi(x)\in A$ ，如果存在 $x_0\in(1,2)$ ，使得 $x_0=\varphi(2x_0)$ ，那么这样的 $x_0$ 是唯一的；

（3）设 $\varphi(x)\in A$ ，任取 $x_1\in(1,2)$ ，令 $x_{n-1}=\varphi(2x_n),n=1,2,\cdots$ ，证明：给定正整数 $k$ ，对任意的正整数 $p$ ，成立不等式 $|x_{k+p}-x_{k}|\leq\frac{L^{k-1}}{1-L}|x_2-x_1|$ .