WHK1
（广东2006理数T20） $A$ 是定义在 $[2,4]$ 上且满足如下条件的函数 $\varphi(x)$ 组成的集合：
- 对于任意的 $x\in[1,2]$ ，都有 $\varphi(2x)\in(1,2)$ ；
- 存在常数 $L(0<L<1)$ ，使得对任意的 $x_1,x_2\in[1,2]$ ，都有 $|\varphi(2x_1)-\varphi(2x_2)|\leq L|x_1-x_2|$ .
（1）设 $\varphi(2x)=\sqrt[3]{1+x},x\in[2,4]$ ，证明： $\varphi(x)\in A$ ；
（2）设 $\varphi(x)\in A$ ，如果存在 $x_0\in(1,2)$ ，使得 $x_0=\varphi(2x_0)$ ，那么这样的 $x_0$ 是唯一的；
（3）设 $\varphi(x)\in A$ ，任取 $x_1\in(1,2)$ ，令 $x_{n-1}=\varphi(2x_n),n=1,2,\cdots$ ，证明：给定正整数 $k$ ，对任意的正整数 $p$ ，成立不等式 $|x_{k+p}-x_{k}|\leq\frac{L^{k-1}}{1-L}|x_2-x_1|$ .
答案解析