个人做法
草稿纸上面：
$$\begin{aligned} \tan\alpha+\tan(\alpha+\beta)&=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}+\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}\\ &=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}+\frac{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}+\frac{\sin\beta}{\cos\beta}}{1-\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\frac{\sin\beta}{\cos\beta}}\quad(\text{太铸币了})\\ &=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}+\frac{\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta} \end{aligned}$$
$$\begin{aligned} \sin(2\alpha+\beta)&=2\sin\alpha\cos\alpha\cos\beta+(2\cos^2\alpha-1)\sin\beta\\ &=2\sin\alpha\cos\alpha\cos\beta+2\cos^2\alpha\sin\beta-\sin\beta=\frac23 \end{aligned}$$
$$\begin{aligned} &\cos\alpha\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha(\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta)\\ \Rightarrow&2\cos^2\alpha\cos\beta+2\sin\alpha\cos\alpha\sin\beta=1 \end{aligned}$$
乱化一通，直觉还不够敏锐（表现在铸币式子）。
标答
$$\begin{aligned} \sin(2\alpha+\beta)&=\sin\left(\alpha+(\alpha+\beta)\right)\\ &=\sin\alpha\cos(\alpha+\beta)+\cos\alpha\sin(\alpha+\beta)=\frac23 \end{aligned} $$
同除 $\cos\alpha\cos(\alpha+\beta)$ 得 $\tan\alpha+\tan(\alpha+\beta)=\frac23\div\frac12=\frac43$ .
实际上是考察简单转化，观察到目标和其中一个条件是 $\alpha,\alpha+\beta$ ，考虑转化 $2\alpha+\beta=\alpha+(\alpha+\beta)$ 。