为实现“更高、更快、更强”地考试，我新开这篇文章，收录各种应试思路、技巧等奇技淫巧。对于奇技淫巧，我曾嗤之以鼻，不以为意，但经过长久以来考试中的失利，我逐渐意识到其重要性——我想说的是：但行好事，莫问前程。

记号

• $d|n$ 表示 $d$ 整除 $n$ ，换言之， $d$ 是 $n$ 的约数。
• $\binom{n}{m}$ 表示 $C_n^m$ 。
• $x^{\underline a}$ 表示 $x$ 的 $a$ 下降幂，即 $x^{\underline a}=x(x-1)(x-2)\cdots(x-a+1)$ ；对应地， $x^{\overline a}$ 表示 $x$ 的 $a$ 上升幂，即 $x^{\overline a}=x(x+1)(x+2)\cdots(x+a-1)$ 。
• $x\equiv a$ 表示 $x$ 恒等于 $a$ ； $x\equiv a\pmod{p}$ 表示 $x$ 在模 $p$ 意义下同余于 $a$ 。
• $[x]$ 表示 $x$ 的整数部分， $\lfloor x\rfloor$ 表示 $x$ 向下取整， $\lceil x\rceil$ 表示 $x$ 向上取整。
• 莱布尼兹记号： $\frac{dy}{dx}$ 表示 $y$ 关于 $x$ 的导数， $dx$ 表示 $x$ 的微小变化量。

复数

在这里列举一些复数具有的性质或计算技巧，运用在选择题比较迅疾。

定理

证明：

设 $z=a+bi,w=c+di$ 。

$$\begin{aligned}\left|\frac{z}{w}\right|&=\left|\frac{a+bi}{c+di}\right|=\left|\frac{ac-bd}{c^2+d^2}+\frac{ad+bc}{c^2+d^2}i\right|\\ &=\sqrt{\left(\frac{ac-bd}{c^2+d^2}\right)^2+\left(\frac{ad+bc}{c^2+d^2}\right)^2}\\ &=\frac{\sqrt{(ac)^2+(bd)^2+(ad)^2+(bc)^2}}{c^2+d^2}\\ &=\frac{\sqrt{(a^2+c^2)(c^2+d^2)}}{c^2+d^2}\\ &=\frac{\sqrt{a^2+c^2}}{\sqrt{c^2+d^2}}=\frac{|z|}{|w|}\end{aligned}$$

故得证。

定理

复数除了常见的 $z=a+bi$ 的形式，还有以类似极坐标的指数表示法，即 $z=Ae^{i\theta}$ ，其中的指数可以用欧拉公式 $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$ 理解。这个形式我记忆最深刻的应用是快速傅里叶变换。

对于指数表示法，显然商定理的意义就是幅角之差，积定理的意义就是幅角之和。利用这个原理，可以达到光速做题。

例题

A 选项即积定理；B 由向量显然；C 显然错，提速度可以取 $i,1$ 的特殊值；D 由指数表示法显然。

整数及数论

线性代数

在高考中，线性代数应用非常浅，但线性代数本身性质丰富，可以辅助计算或理解。

向量到矩阵

向量叉积与其应用

由于向量叉积的垂直的性质，可在立体几何中辅助计算法向量： $\overrightarrow{n}=\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}$ 。这个结论被高中老师称为“快速求法向量”。

行列式和特征值

函数

函数又称映射。从集合 $A$ 到集合 $B$ 的映射 $f$ 是指一个规则，根据它，每一个元素 $x\in A$ 有一个元素 $b\in B$ 与之对应。记作

$$y=f(x) $$

或

$$f:A\rightarrow B;\quad f:x\mapsto y $$

$A$ 称为 $f$ 的定义域， $B$ 称为 $f$ 的目标域。

两个映射的乘积即复合，记作 $f\circ g$ 。

ε-δ 语言

例子 1：证明函数 $f(x)=3x+2$ 当 $x$ 趋近于 1 时的极限是 5。

• 选择 ε：对于任意的 $\varepsilon>0$ 。
• 找到 δ：我们需要找到一个正数 $\delta>0$ ，使得当 $0<|x-1|<\delta$ 时，有

$$|f(x)-5|<\varepsilon $$

• 简化表达式：

$$|f(x)-5|=|3x+2-5|=|3x-3|=3|x-1| $$

• 解不等式：解不等式 $3|x-1|<\varepsilon$ ，得到 $|x-1|<\frac{\varepsilon}{3}$ 。
• 选择 δ：取 $\delta=\frac{\varepsilon}{3}$ 。
• 验证：当 $0<|x-1|<\delta$ 时，有

$$|f(x)-5|=3|x-1|<3\cdot\frac{\varepsilon}{3}=\varepsilon $$

因此， $\lim{x\to 1}(3x+2)=5$ 。

例子 2：证明函数 $f(x)=x^2$ 在 $x=2$ 处连续。

• 选择 ε：对于任意的 $\varepsilon>0$ 。
• 找到 δ：我们需要找到一个正数 $\delta>0$ ，使得当 $|x-2|<\delta$ 时，有

$$|f(x)-f(2)|<\varepsilon $$

• 简化表达式：

$$|f(x)-f(2)|=|x^2-4|=|(x-2)(x+2)| $$

• 限制 $x$ 的范围：假设 $|x-2|<1$ ，则 $1<x<3$ ，从而 $3<x+2<5$ 。
• 解不等式：解不等式 $|(x-2)(x+2)|<\varepsilon$ ，得到 $|x-2|<\frac{\varepsilon}{5}$ 。
• 选择 δ：取 $\delta=\min\left(1,\frac{\varepsilon}{5}\right)$ 。
• 验证：当 $|x-2|<\delta$ 时，有

$$|f(x)-f(2)|=|(x-2)(x+2)|<\delta\cdot 5\leq\frac{\varepsilon}{5}\cdot 5=\varepsilon $$

因此， $f(x)=x^2$ 在 $x=2$ 处连续。

夹逼定理：设 $f(x)$ ， $g(x)$ ，和 $h(x)$ 是定义在点 $c$ 的某个去心邻域内的函数，且满足

$$f(x)\leq g(x)\leq h(x) $$

如果

$$\lim_{x\to c}f(x)=\lim_{x\to c}h(x)=L $$

那么

$$\lim_{x\to c}g(x)=L $$

证明：对于任意的 $\varepsilon>0$ ，存在一个 $\delta>0$ ，使得当 $0<|x-c|<\delta$ 时，有

$$|g(x)-L|<\varepsilon $$

证明步骤：

• 已知 $\lim_{x\to c}f(x)=L,\lim_{x\to c}h(x)=L,f(x)\leq g(x)\leq h(x)$ 在 $c$ 的某个去心邻域内成立
• 选择 ε：对于任意的 $\varepsilon>0$ 。
• 找到 δ：
• 由于 $\lim_{x\to c}f(x)=L$ ，根据极限的定义，存在一个 $\delta_1>0$ ，使得当 $0<|x-c|<\delta_1$ 时，有

$$|f(x)-L|<\varepsilon $$

• 由于 $\lim_{x\to c}h(x)=L$ ，根据极限的定义，存在一个 $\delta_2>0$ ，使得当 $0<|x-c|<\delta_2$ 时，有

$$|h(x)-L|<\varepsilon $$

• 选择合适的 δ：取 $\delta=\min(\delta_1,\delta_2)$ 。这样，当 $0<|x-c|<\delta$ 时，同时满足上述两个条件。
• 验证：
  • 当 $0<|x-c|<\delta$ 时，有

$$|f(x)-L|<\varepsilon\quad\text{和}\quad|h(x)-L|<\varepsilon $$

• 由于 $f(x)\leq g(x)\leq h(x)$ ，我们有

$$f(x)-L\leq g(x)-L\leq h(x)-L $$

• 因此，

$$|g(x)-L|\leq\max(|f(x)-L|,|h(x)-L|) $$

• 由于 $|f(x)-L|<\varepsilon$ 和 $|h(x)-L|<\varepsilon$ ，我们有

$$|g(x)-L|\leq\max(|f(x)-L|,|h(x)-L|)<\varepsilon $$

构造函数与常微分方程

https://www.doc88.com/p-7406445724794.html

https://zhuanlan.zhihu.com/p/466133458

1. 先将不等式整理成一边为零，另一边是其他项的样子，即形如 $\varphi(x,f(x),f'(x))>0$ ；
2. 然后将不等号改成等号，即 $\varphi(x,f(x),f'(x))=0$ 的形式，解微分方程；
3. 将积分常数 C 移至等号的一边，另一边留出其他项，即形如 $F(x,f(x))=C$ ；

对于上述的 $\varphi(x,f(x),f'(x))>0$ ，其实绝大部分题目的呈现形式是 $f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot h(x)>0$ ，这里笔者单独解一下这个式子。

解：考虑微分方程 $f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot h(x)=0$ ，移项得到 $\frac{\mathrm df(x)}{f(x)}=-\frac{h(x)}{g(x)}\cdot \mathrm dx$ ；

两边积分，得到 $\mathrm{ln}\left| f(x) \right|=\int-\frac{h(x)}{g(x)}\cdot \mathrm dx+C$ ；

移项，取指数，得到 $A=f(x)\cdot\mathrm e^{\int\frac{h(x)}{g(x)}\cdot \mathrm dx}$ ，其中 $A=\mathrm e^C$ 。

此时函数 $F(x)=f(x)\cdot\mathrm e^{\int\frac{h(x)}{g(x)}\cdot \mathrm dx}$ 就是我们想要构造的函数。

简记： $f(x)$ 挂前头，不导比导挂 $e$ 上。

PS：“不导”和“导”分别指 $f(x)$ 和 $f'(x)$ 前面的系数 $h(x)$ 和 $g(x)$ 。

（如果是 $f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot h(x)+i(x)>0$ ，使用常数变易法易得目标函数 $F(x)=f(x)\cdot\mathrm e^{\int\frac{h(x)}{g(x)}\cdot \mathrm dx}+\int\frac{i(x)}{g(x)}\cdot\mathrm e^{\int\frac{h(x)}{g(x)}\cdot \mathrm dx}\mathrm dx$ ，此处不再推导。）

例题

考虑 $x\in(0,\pi)$ ，先解 $f'(x)\cdot \mathrm{sin}x-f(x)\cdot \mathrm{cos}x=0$ ，即解 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\cdot \mathrm{sin}x-y\cdot \mathrm{cos}x=0$ ；

分离变量，得到 $\frac{\mathrm{d}y}{y}=\mathrm{cot}x\mathrm{d}x $；

两边积分，得到 $\mathrm{ln}\left| y \right|=\mathrm{ln}\left|\mathrm{sin}x\right|+C $；

（此处有 $\int\mathrm{cot}x\mathrm{d}x=\int\frac{\mathrm{cos}x}{\mathrm{sin}x}\cdot \mathrm dx=\int\frac{\mathrm d (\mathrm{sin}x) }{\mathrm {sin}x}=\mathrm{ln}\left|\mathrm{sin}x \right|+C$ )

取指数，得到 $y=\mathrm{e}^{C}\cdot\mathrm{sin}x$ ，即 $y=A\cdot\mathrm{sin}x$ ，可得 $A=\frac{y}{\mathrm{sin}x}$ ；

令 $g(x)=\frac{f(x)}{\mathrm{sin}x}$ ，所以不等式 $f'(x)\cdot \mathrm{sin}x-f(x)\cdot \mathrm{cos}x<0$ 即 $g'(x)<0$ ，其中 $x\in(0,\pi)$ 。

（当然也可以使用上述二级结论，即 $g(x)=f(x)\cdot\mathrm e^{\int \frac{-\mathrm{cos}x}{\mathrm{sin}x}\cdot\mathrm d x }=\frac{f(x)}{\mathrm{sin}x}$ 直接得到目标函数）

剩下的问题，就是拿构造好的 $g(x)$ 去解题就完事了。同构或者强行换元都可以。此处不再赘述。（记得考虑 $x\in(-\pi,0)$ ）

答案： $(-\frac{\pi}{6},0)\cup(\frac{\pi}{6},\pi)$ 。

抽象函数

一些考察抽象函数性质的题目给出了柯西方程的条件，以此挖掘其它性质。

定理

柯西方法证明先考虑正整数，再考虑整数，然后到有理数，最后实数。在高考中函数一般都连续，且一般不用证明充分性，因此不必那么严谨。

在高中取特殊值然后求导即可。有周期性的找个三角函数。

函数不等式

牛顿迭代

牛顿迭代是一种求近似零点的方法，原理非常简单，就是通过不断地做切线来逼近方程的根。具体地，

$$x_{n}=x_{n-1}-\frac{f(x_{n-1})}{f'(x_{n-1})} $$

其中， $x_n$ 表示第 $n$ 个近似零点。

（此处应该有一张图片）

注意到牛顿迭代可能会遇到不收敛的情况，如 $f(x)=\sqrt[3]x,g(x)=\sqrt{|x|}$ 。所以使用牛顿迭代应该要考虑函数区间内的凹凸性，保守一点地说，只在凹函数或凸函数上适用。

（此处应该有一张 $f(x)=\sqrt[3]x,g(x)=\sqrt{|x|}$ 的图片）

在选择题或填空题比较数的大小走投无路时，可以使用。

可能可以应用在隐零点相关的放缩上。（但我从来没有见过）

泰勒展开

帕德逼近

上文介绍的牛顿迭代，是一种线性近似的方法，而帕德逼近则是一种非线性近似。

假设我们有一个复杂的函数 $f(x)$ ，我们想用帕德逼近来近似它。具体步骤如下：

1. 选择分子和分母的阶数：假设分子多项式的阶数为 $m$ ，分母多项式的阶数为 $n$ 。
2. 写出有理函数的形式：

$$R(x)=\frac{a_0+a_1 x+a_2 x^2}{1+b_1 x} $$

这里， $a_0,a_1,a_2,b_1$ 是我们需要确定的系数。

3. 确定系数：通过让 $R(x)$ 在某个点（通常是 $x=0$ ）的泰勒展开与 $f(x)$ 的泰勒展开尽可能匹配，来确定这些系数。具体来说，就是让 $R(x)$ 和 $f(x)$ 在 $x=0$ 处的前几个导数值相等。

假设我们想用帕德逼近来近似 $e^x$ 。我们可以选择 $m=1$ 和 $n=1$ ，那么有理函数的形式为：

$$R(x)=\frac{a_0+a_1 x}{1+b_1 x} $$

通过匹配 $e^x$ 在 $x=0$ 处的前几个导数值，我们可以得到 $a_0=1$ ， $a_1=1$ ， $b_1=\frac{1}{2}$ 。所以，近似函数为：

$$R(x)=\frac{1+x}{1-\frac{1}{2}x} $$

这个近似函数在 $x$ 接近 $0$ 的时候，比简单的泰勒展开 $1+x+\frac{x^2}{2}$ 更精确。

极值点偏移

隐零点问题

指数对数

三次函数

三角函数和解三角形

欧拉公式 $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$ 是三角函数与复数间的桥梁，可以帮助我们推导一些公式，例如和差公式、和差化积公式等。

公式

由欧拉公式

$$e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\tag{1} $$

得到

$$e^{-i\theta}=\cos\theta-i\sin\theta\tag{2} $$

联立 (1)(2) 得到 $\cos\theta=\frac12(e^{i\theta}+e^{-i\theta}),\sin\theta=\frac1{2i}(e^{i\theta}-e^{-i\theta})$

以 $\sin \alpha +\sin\beta$ 为例

$$\begin{aligned} \sin \alpha +\sin\beta &= \frac1{2i}(e^{i\alpha}+e^{i\beta}-e^{-i\alpha}-e^{-i\beta})\\ &=\frac1{2i}\left(e^{i\frac{\alpha+\beta}{2}}\left(e^{i\frac{\alpha-\beta}{2}}+e^{-i\frac{\alpha-\beta}{2}}\right)-e^{-i\frac{\alpha+\beta}{2}}\left(e^{i\frac{\alpha-\beta}{2}}+e^{-i\frac{\alpha-\beta}{2}}\right)\right)\\ &=\frac1{2i}\left(e^{i\frac{\alpha+\beta}{2}}-e^{-i\frac{\alpha+\beta}{2}}\right)\left(e^{i\frac{\alpha-\beta}{2}}+e^{-i\frac{\alpha-\beta}{2}}\right)\\ &=\frac1{2i}\cdot2i\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cdot2\cos\frac{\alpha-\beta}{2}\\ &=2\sin\frac{\alpha +\beta}{2}\cos\frac{\alpha -\beta}{2} \end{aligned}$$

公式

万能公式

不等式与放缩

函数不等式

详见函数部分。

圆锥曲线

个人认为，解析几何大题的考法趋向是用几何性质或者代数性质代替繁琐的常规韦达定理计算。

一般的思路有设线运用韦达定理、设点运用代数和几何性质，而还有一些综合两者的思路和一些超乎此格局的思路，比如变换主元、运用二次曲线系。

定义与常规性质

圆锥曲线所谓二级结论太多了，活脱把数学学成文科了，应只掌握一些频繁或有重要意义的二级结论。

第二定义：对于任意圆锥曲线上的点到焦点距离 $d_1$ 和到准线 $d_2$ 之比是定值， $\frac{d_1}{d_2}=e$ 。

设线运用韦达定理

齐次化联立

齐次化联立本质上与韦达解决特定问题时无异，可能不给分，在非常卷子难的时候（2022全国I卷）时可以用。

设点运用代数和几何性质

点差法

利用平方差公式解决一类带一点和中心对称点的两点的直线斜率关系和弦和其定比点与原点直线斜率关系特征的问题的方法。

点乘法

https://zhuanlan.zhihu.com/p/699713815

向量法

引入角度：极坐标法和参数方程

射影几何

射影几何不能在大题里面直接使用，但可以翻译而规避扣分。

调和点列和调和线束

极点极线

以平面上任意一点作为极点，它对于圆锥曲线有一条级线。大题用不了，但可以做思维导向和验算。

例题

$c=1$ ，离心率最大即 $a$ 最小。注意到， $l$ 与椭圆相切时刚好满足。设切点 $P(x_0,x_0+2)$ ，极线即切线：

$$\frac{x_0x}{a^2}+\frac{(x_0+2)y}{a^2-1}\Leftrightarrow y=x+2 $$

整理可得方程组

$$\left\{\begin{matrix} \frac{x_0}{a^2}=-\frac12 \\ \frac{x_0+2}{a^2-1}=\frac12 \end{matrix}\right.$$

解得 $a=\frac{\sqrt{10}}2$ ，此时 $e=\frac{\sqrt{10}}5$ 。

仿射几何

https://www.zhihu.com/question/534914645/answer/2506026330

通过线性变换和平移，把椭圆或双曲线转化为圆的操作，并利用圆的优秀性质解题。大题不能使用。

变换主元法

https://zhuanlan.zhihu.com/p/823334033

二次曲线系*

利用了曲线方程共点簇的性质。不建议在大题使用。

圆锥曲线选择填空记录

立体几何

https://zhuanlan.zhihu.com/p/396977839

建系一定要使得法向量好算。

数列

等差数列和等比数列常用性质

1. $\{a_n\}\text{是等差数列}\Leftrightarrow$ $S_n=An^2+Bn(A,B\text{常数})$ . $d=2A$ .
2. 两个等差数列 $\{a_n\},\{b_n\}$ ，令其前缀和分别是 $S_n,T_n$ 有 $\frac{a_n}{b_n}=\frac{S_{2n-1}}{T_{2n-1}}$ .
3. 等比数列 $\{a_n\}$ ，令 $T_n=\prod_{i=1}^na_i$ ，则 $T_n,\frac{T_{2n}}{T_n},\frac{T_{3n}}{T_{2n}},\cdots$ 成等比数列.
4. 对等差数列 $\{a_n\}$ ，等比数列 $\{b_n\}$ ，所谓“等差比数列” $c_n=a_nb_n=(\alpha n+\beta)q^{n-1}\quad(\alpha=b_1d,\beta= a_1b_1-b_1d)$ ， $c_n$ 的前缀和 $S_n=(An+B)q^n+C\quad(A=\frac{\alpha}{q-1},B=\frac{b-A}{q-1},C=-B)$ .

ε-N 语言

ε-N 语言是用来描述数列极限的一种严格方法。简单来说，它通过引入两个变量：ε（epsilon）和 N（自然数），来精确地定义数列的极限。ε 表示一个任意小的正数，用来衡量数列项与极限之间的接近程度；N 表示一个足够大的正整数，用来确定从哪一项开始，数列项与极限之间的距离小于 ε。

数列极限的定义：设 $\{a_n\}$ 是一个数列， $L$ 是一个实数。如果对于任意的正数 $\varepsilon>0$ ，都存在一个正整数 $N$ ，使得当 $n>N$ 时，有

$$|a_n-L|<\varepsilon $$

那么我们就说数列 $\{a_n\}$ 的极限是 $L$ ，记作

$$\lim{n\to\infty}a_n=L $$

例题

• 选择 ε：对于任意的 $\varepsilon>0$ 。
• 找到 N：我们需要找到一个正整数 $N$ ，使得当 $n>N$ 时，有

$$\left|\frac{1}{n}-0\right|<\varepsilon $$

• 解不等式：解不等式 $\frac{1}{n}<\varepsilon$ ，得到 $n>\frac{1}{\varepsilon}$ 。
• 选择 N：取 $N=\left\lceil\frac{1}{\varepsilon}\right\rceil$ （向上取整）。
• 验证：当 $n>N$ 时，有

$$\left|\frac{1}{n}-0\right|=\frac{1}{n}<\varepsilon $$

因此， $\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0$ 。

例题

• 选择 ε：对于任意的 $\varepsilon>0$ 。
• 找到 N：我们需要找到一个正整数 $N$ ，使得当 $n>N$ 时，有

$$\left|\frac{2n+1}{n}-2\right|<\varepsilon $$

• 简化表达式：

$$\left|\frac{2n+1}{n}-2\right|=\left|\frac{2n+1-2n}{n}\right|=\left|\frac{1}{n}\right| $$

• 解不等式：解不等式 $\frac{1}{n}<\varepsilon$ ，得到 $n>\frac{1}{\varepsilon}$ 。
• 选择 N：取 $N=\left\lceil\frac{1}{\varepsilon}\right\rceil$ （向上取整）。
• 验证：当 $n>N$ 时，有

$$\left|\frac{1}{n}\right|<\varepsilon $$

因此， $\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{n}=2$ 。

特征根求通项公式

不动点求通项公式

生成函数

在高考没什么用，写在这只是纪念我死去的信竞时光。

组合数学和概率统计

这在 OI 里是计数。

选择题

由于有选项的提示，选择题是“奇技淫巧”非常集中的体现，它的题面和选项是一体的，切忌把选择题当做带选项的填空题，一定要审完选项再思考。

选择题可以分为纯基础、理解和技巧优势、纯恶心三类题。纯基础题，指非常简单、浅显的题，单纯考察学生基础的题；理解和技巧优势题，指对知识、性质有更为深刻的认识或掌握一些技巧能够更快做出（或能做得出）的题，区分度就在这了；纯恶心题，指技术含量不高，但单纯计算量大来恶心人的题。

理解和技巧优势题的做法在上文已经介绍了。接下来给出的一些技巧有点太过“奇技淫巧”了，以至于舍弃了一定的确定性、正确性，可以选择性的采用，大概可以运用在纯恶心的题里。

知己知彼

即要知道出卷老师想考什么，能怎么考。这也是接下来奇技淫巧的基础。

选项提示

有的题目可以根据选项知道解题思路、答案大致范围，或者错误答案显著直接排除走人（这种情况也是最为幸福的）。

例题

见到 $x\in\mathbb Z$ 排除 AD，见到 $\frac{\cdots}{x+2}$ 排 B，得 C。省去了思考和计算，真的能在读完题一秒内做完。

少数服从多数

算是选项提示里的，但由于它舍弃了一定的确定性而分出来。

例题

少数服从多数，选 $e\sim\infty$ ；少数服从多数， $e$ 这边是闭。选 C。

看着像扯淡，但很难说没有一定的逻辑，毕竟这道题我考场上就是这么做的。

猜

单音节词就是有独特韵味，言简意赅地表现了这个方法的特点——直接猜，然后没了。有的题能根据知己知彼直接猜出正确答案，而有的题可能需要别的性质。

例题

知己知彼，我猜测出题老师肯定想坑害只算了 $x_P$ 而忘记加一的考生，于是猜测正确答案及其减一都在选项里，直接大胆选 C 跑路。

但这不确定性太大了，建议代入验算。

参考资料与鸣谢

1. https://zhuanlan.zhihu.com/p/466133458
2. https://www.doc88.com/p-7406445724794.html
3. https://zhuanlan.zhihu.com/p/699713815
4. https://zhuanlan.zhihu.com/p/823334033
5. 数学分析讲义 · 第一册/陈天权编著.—北京：北京大学出版社，2009.8
6. 高考导数探秘：解题技巧与策略/董晟渤编著.—北京：人民邮电出版社，2024.10
7. 高等几何/梅向明等编.—4版.—北京：高等教育出版社，2020.8（2023.12 重印）