Present

题面

给出一个长度为 $n$ 的数列 $a$ 。其中第 $i$ 项为 $a_i$ 。

请你求出 $\bigoplus_{i=1}^{n}\bigoplus_{j=i+1}^{n}(a_i+a_j)$ 。其中 $\oplus$ 表示按位异或操作。

$2 \leq n \leq 4 \times 10^5$ ， $1 \leq a_i \leq 10^7$ 。

题解

从统计每一个二进制位的贡献出发。发现这个 $i,j$ 分开算很难算，那就合起来算。从高到低统计，不考虑已统计的位，此为有贡献时， $a_i+a_j$ 在 $[2^k,2^{k+1}),[2^{k+1}+2^{k},2^{k+2})$ 两个区间内。双指针跑两遍。

总复杂度 $\mathcal{O}\left((\log a_i)\times n\log n\right)$ 。

代码

const int N = 4e5 + 5;

inline ll Read() {
	ll x = 0, f = 1;
	char c = getchar();
	while (c != '-' && (c < '0' || c > '9')) c = getchar();
	if (c == '-') f = -f, c = getchar();
	while (c >= '0' && c <= '9') x = (x << 3) + (x << 1) + c - '0', c = getchar();
	return x * f;
}

namespace Main {
	int n;
	ll a[N], b[N];
	ll l, r, ans, sum;
	ll TP (ll L, ll R) {
		for (; r < n && a[r + 1] < R; r++);
		for (; l <= n && a[l] < L; l++);
		return l;
	}
	int main () {
		n = Read();
		for (int i = 1; i <= n; i++) b[i] = Read();
		for (int j = 0; j < 25; j++) {
			for (int i = 1; i <= n; i++) a[i] = b[i] & ((1ll << j + 1) - 1);
			sort (a + 1, a + 1 + n);
			l = 1, r = 0; ans = 0;
			for (ll i = n; i; i--) {
				if (TP((1ll << j) - a[i], (1ll << j + 1) - a[i]) >= i) break;
				ans += min(r, i - 1) - l + 1;
			}
			l = 1, r = 0;
			for (ll i = n; i; i--) {
				if (TP((1ll << j + 1) + (1ll << j) - a[i], (1ll << j + 2) - a[i]) >= i) break;
				ans += min(r, i - 1) - l + 1;
			}
			sum += (ans & 1) * (1ll << j);
		}
		printf ("%lld\n", sum);
		return 0;
	}
}

int main () {
//	freopen(".in", "r", stdin);
//	freopen(".out", "w", stdout);
	Main::main();
	return 0;
}