WHKs

我站在那里僵住了，贾斯汀被授予了奖牌。

看到他脸上闪过一丝赞赏，我知道我的想法被接受了。

我仍气喘吁吁，向James倾吐了我的想法。

我刚下定决心，便快步走出家门，匆忙赶往James的家并敲了门。

一阵兴奋与喜悦交织的涟漪在我心中泛起，将我拖入一个充满创作欲望的漩涡，渴望制作一张以可爱的Mr. Nibbles为主题的海报。

看着那个快乐的小身影在操场上奔跑，一个角色突然浮现在我脑海中——一只精力充沛的仓鼠运动员，穿着印有“I'm running for meeting you!”字样的衣服。

突然，一个想法在我脑海中形成。

已知 $y>x>0$ ，则 $\frac{y}{y-x}-\frac{4x}{2x+y}$ 的最小值为_______。

（广东2006理数T20） $A$ 是定义在 $[2,4]$ 上且满足如下条件的函数 $\varphi(x)$ 组成的集合：

1. 对于任意的 $x\in[1,2]$ ，都有 $\varphi(2x)\in(1,2)$ ；
2. 存在常数 $L(0<L<1)$ ，使得对任意的 $x_1,x_2\in[1,2]$ ，都有 $|\varphi(2x_1)-\varphi(2x_2)|\leq L|x_1-x_2|$ .

（1）设 $\varphi(2x)=\sqrt[3]{1+x},x\in[2,4]$ ，证明： $\varphi(x)\in A$ ；

（2）设 $\varphi(x)\in A$ ，如果存在 $x_0\in(1,2)$ ，使得 $x_0=\varphi(2x_0)$ ，那么这样的 $x_0$ 是唯一的；

（3）设 $\varphi(x)\in A$ ，任取 $x_1\in(1,2)$ ，令 $x_{n-1}=\varphi(2x_n),n=1,2,\cdots$ ，证明：给定正整数 $k$ ，对任意的正整数 $p$ ，成立不等式 $|x_{k+p}-x_{k}|\leq\frac{L^{k-1}}{1-L}|x_2-x_1|$ .