D. [春季测试 2023] 密码锁
题目描述
寒假过后，小 I 回到学校，发现自己忘记了自行车锁的密码，于是请你帮忙。
小 I 自行车上的密码锁有 $n$ 个拨圈，每个拨圈有 $k$ （ $k \leq 4$ ）格。密码锁上的每一格都包含一个正整数，其中第 $j$ 个拨圈的第 $i$ 格上的正整数为 $a _ {i, j}$ 。
（一个锁的例子，其中 $k = n = 3$ ，每列表示一个拨圈，拨圈的格子从上往下编号。）
你可以对每个拨圈拨若干次（也可以不拨），每拨一次拨圈，它的格子就会进行一次轮换。形式化地，拨第 $j$ 个拨圈一次，则会让第 $j$ 个拨圈上第 $i$ 格的数字移动到第 $((i \bmod k) + 1)$ 格，其他拨圈不动。
（一个拨动拨圈的例子，对左侧的锁拨一次第二个拨圈得到右侧的锁。）
为了方便记忆，小 I 设定密码时要求同一行上的数字尽可能靠近。 形式化地，对于 $1 \leq i \leq k$ ，定义密码锁第 $i$ 行的松散度为
$$c(i) = \max \limits _ {j = 1} ^ n a _ {i, j} - \min \limits _ {j = 1} ^ n a _ {i, j} $$
同时定义整个密码锁的松散度为
$$C = \max \limits _ {1 \leq i \leq k} c(i) $$
因为能开锁的状态满足 $C$ 尽可能小，因此小 I 希望你找出最小的 $C$ 值。
输入格式
本题有多组测试数据，题目保证一个测试点中所有测试数据的 $k$ 相同。
第一行包含两个正整数 $T, k$ ，分别表示测试数据组数和密码锁拨圈上的格数。
接下来一共 $T$ 组数据，每组数据格式如下：
第一行包含一个正整数 $n$ ，表示拨圈数。
接下来 $k$ 行，每行包含 $n$ 个正整数，其中第 $i$ 行第 $j$ 个整数 $a _ {i,j}$ 表示密码锁第 $j$ 个拨圈上第 $i$ 格对应的数字。
注意输入的矩阵中每一列对应一个拨圈，而非每一行对应一个拨圈。
输出格式
对于每组数据，输出一行包含一个整数，表示所有方案中 $C$ 的最小值。
样例 1
样例 2
样例 3
样例 4
样例 5
数据范围与提示
【样例 1 解释】
第一组样例对应题目描述中的例子。 在拨第二个拨圈一次后，每个拨圈都是 $\{1, 2, 3\}$ ，此时松散度为 $0$ 。 容易证明无论如何松散度都不可能小于 $0$ ，因此输出 $0$ 。
以下四个样例分别对应 $k = 1, 2, 3, 4$ 的情况，且样例中 $n$ 的取值有一定梯度。
【数据范围】
设 $\sum n$ 为一个测试点中所有测试数据的 $n$ 的和。
对于所有数据，保证 $1 \leq T$ ， $1 \leq k \leq 4$ ， $1 \leq a _ {i ,j} \leq 3 \times 10 ^ 4$ 。
本题分为两类测试点。
第一类测试点共有十二个，保证 $k \leq 3$ ， $n \leq 5 \times 10 ^ 4$ ， $\sum n \leq 1.5 \times 10 ^ 5$ 。
| 测试点编号 | $n \leq$ | $\sum n \leq $ | $k = $ |
|---|---|---|---|
| $1$ | $20$ | $100$ | $1$ |
| $2$ | $5 \times 10 ^ 4$ | $1.5 \times 10 ^ 5$ | $1$ |
| $3$ | $20$ | $100$ | $2$ |
| $4$ | $100$ | $1000$ | $2$ |
| $5$ | $2000$ | $10 ^ 4$ | $2$ |
| $6$ | $5 \times 10 ^ 4$ | $1.5 \times 10 ^ 5$ | $2$ |
| $7$ | $10$ | $50$ | $3$ |
| $8$ | $50$ | $500$ | $3$ |
| $9$ | $300$ | $3000$ | $3$ |
| $10$ | $3000$ | $2 \times 10 ^ 4$ | $3$ |
| $11$ | $3 \times 10 ^ 4$ | $1.2 \times 10 ^ 5$ | $3$ |
| $12$ | $5 \times 10 ^ 4$ | $1.5 \times 10 ^ 5$ | $3$ |
第二类测试点共有八个，保证 $k = 4$ ， $n \leq 10 ^ 4$ ， $\sum n \leq 3 \times 10 ^ 4$ 。
| 测试点编号 | $n \leq$ | $\sum n \leq $ | $k = $ |
|---|---|---|---|
| $13$ | $10$ | $50$ | $4$ |
| $14$ | $50$ | $500$ | $4$ |
| $15$ | $200$ | $2000$ | $4$ |
| $16$ | $500$ | $4000$ | $4$ |
| $17$ | $2500$ | $10 ^ 4$ | $4$ |
| $18$ | $5000$ | $2 \times 10 ^ 4$ | $4$ |
| $19$ | $10 ^ 4$ | $3 \times 10 ^ 4$ | $4$ |
| $20$ | $10 ^ 4$ | $3 \times 10 ^ 4$ | $4$ |
【后记】
你花了九牛二虎之力算出 $C$ 的值之后，小 I 却告诉你他已经找开锁师傅用锤子暴力破解了。在你的百般劝说下，小 I 承诺以后锁车不用有大于等于一万个拨圈的密码锁。