题面

给出 $n$ 个数字 $a_1 , a_2 , \ldots , a_n$ ，每次操作可以给其中一个数加上 $2$ 的非负整数次幂。求最少的操作次数，使得这 $n$ 个数相等。

题解

令 $a_i$ 升序，记 $\text{bit}(i)$ 表示 $i$ 二进制中 1 的个数，则要求一个 $x$ 使得

$$\sum_{i=1}^n\text{bit}(x+a_n-a_i) $$

最小。

那么令 $a_i\leftarrow a_n-a_i$ ，然后类似数位 DP 考虑每一个二进制位。对于第 $k$ 位，最难处理的式前一位是否进位。由于加上的 $x$ 都一样，所以 $a_i\bmod 2^k$ 越大越可能进位，那么可以排序后只枚举一个全进位的前缀，把状态数降到了 $\mathcal{O}(n\log a)$ 。

代码

const int N = 1e5 + 5, T = 70;

inline ll Read() {
	ll x = 0, f = 1;
	char c = getchar();
	while (c != '-' && (c < '0' || c > '9')) c = getchar();
	if (c == '-') f = -f, c = getchar();
	while (c >= '0' && c <= '9') x = (x << 3) + (x << 1) + c - '0', c = getchar();
	return x * f;
}

namespace Main {
	int n, now;
	ll A[N];
	int f[T][N], id[N];
	int sum[2][N];

	bool cmp (int a, int b) {
		return (A[a] & ((1LL << now) - 1)) < (A[b] & ((1LL << now) - 1));
	}

	int main () {
		n = Read();
		for (int i = 1; i <= n; i++) A[i] = Read();
		sort (A + 1, A + 1 + n);
		for (int i = 1; i <= n; i++) A[i] = A[n] - A[i], id[i] = i;
		memset(f, 63, sizeof(f));
		f[0][0] = 0;
		for(int k = 0; k <= 60; k++) {
			now = k;
			sort(id + 1, id + n + 1, cmp);
			for(int i = 1; i <= n; i++) {
				sum[0][i] = sum[0][i - 1], sum[1][i] = sum[1][i - 1];
				sum[(A[id[i]] >> k) & 1][i]++;
			}
			for(int i = 0; i <= n; i++) {
				int w, ni;
				w = sum[1][n - i] + sum[0][n] - sum[0][n - i], ni = sum[1][n] - sum[1][n - i];
				f[k + 1][ni] = min(f[k + 1][ni], f[k][i] + w);
				w = sum[0][n - i] + sum[1][n] - sum[1][n - i], ni = n - sum[0][n - i];
				f[k + 1][ni] = min(f[k + 1][ni], f[k][i] + w);
			}
		}
		printf("%d\n", f[61][0]);
		return 0;
	}
}

int main () {
//	freopen(".in", "r", stdin);
//	freopen(".out", "w", stdout);
	Main::main();
	return 0;
}