题面

有一个 $1\sim n$ 的排列 $\{p_i\}$ ，对应了 $i$ 条有向边为 $(i,p_i)$ 的图。由于 $p_i$ 是排列，可以证明图由若干个环组成。你希望知道有多少种可能的排列 $\{p_i\}$ ，使得图中每一个环长度都为偶数，答案对 $998244353$ 取模。其中一部分 $p_i$ 已经给定。

$n\leq 10^5$ 。

题解

特判开局奇环、奇数个奇链。

假设有 $n$ 个奇链， $m$ 个偶链

发现把奇链转为偶链复杂，但可以考虑奇链先成环森林，把偶链插入，因为奇链组成的环森林，边数是确定的，也就是偶链可插入的空数是确定的。

偶链那边都包括自己成森林和插入的方案都好搞，考虑奇链这边。

把奇链作结点。考虑某一个结点 $u$ 与别人 $v$ 合并，它要么跟它 $u,v$ 直接成环，合并后删除，要么再找一个点 $w$ ， $u,v,w$ 合并成一个点继续过程。那就是 $f(n)=(n-1)^2f(n-2)$ 。

最终答案

$$\sum_{i=0}^m\binom{m}{i}(m-i)!\times f(n)n^{\overline{i}} $$

代码

const int N = 1e5 + 5, mod = 998244353;

inline ll Read() {
	ll x = 0, f = 1;
	char c = getchar();
	while (c != '-' && (c < '0' || c > '9')) c = getchar();
	if (c == '-') f = -f, c = getchar();
	while (c >= '0' && c <= '9') x = (x << 3) + (x << 1) + c - '0', c = getchar();
	return x * f;
}

namespace Main {
	int n;
	int fac[N], inv[N], f[N];
	int a[N], b[N], fa[N], sum[N];
	int find(int k) {return k == fa[k]? k: fa[k] = find(fa[k]);}

	struct link {
		int lst, nxt, id;
	} lk[N];
	bool vis[N];
	int cnt[2];
	int add(int a, int b) { return a + b > mod? a + b - mod: a + b;}
	int dec(int a, int b) { return a - b < 0? a - b + mod: a - b;}
	int mul(int a, int b) { return 1ll * a * b % mod; }
	int qpow(int a, int b) {
		int ans = 1;
		for (; b; b >>= 1, a = mul(a, a))
			if (b & 1) ans = mul(ans, a);
		return ans;
	}
	int binom(int n, int m) { return mul(fac[n], mul(inv[m], inv[n - m])); }
	int main () {
		n = Read();
		fac[0] = 1;
		for (int i = 1; i <= n; i++) fac[i] = mul(fac[i - 1], i);
		inv[n] = qpow (fac[n], mod - 2);
		f[0] = 1;
		for (int i = 2; i <= n; i += 2) f[i] = mul(f[i - 2], mul(i - 1, i - 1));
		for (int i = n; i; i--) inv[i - 1] = mul(inv[i], i);
		for (int i = 1; i <= n; i++) a[i] = Read();
//		if (n <= 8) {
//			for (int i = 1; i <= n; i++) b[i] = i;
//			int ans = 0;
//			do {
//				for (int i = 1; i <= n; i++) fa[i] = i, sum[i] = 1;
//				bool flag = 0;
//				for (int i = 1; i <= n; i++)
//					if (a[i] && a[i] != b[i]) { flag = 1; break; }
//				if (flag) continue;
//				for (int i = 1; i <= n; i++) {
//					int u = find(i), v = find(b[i]);
//					if (u == v) continue;
//					fa[u] = v;
//					sum[v] += sum[u];
//				}
//				flag = 1;
//				for (int i = 1; i <= n; i++) 
//					if (sum[i] & 1 && fa[i] == i) {flag = 0; break;}
//				ans += flag;
//			} while (next_permutation(b + 1, b + 1 + n));
//			printf ("%d\n", ans);
//			return 0;
//		}
		for (int i = 1; i <= n; i++) lk[i].nxt = a[i], lk[a[i]].lst = i;
		lk[0].lst = 0;
		for (int i = 1; i <= n; i++) {
			if (vis[i] || lk[i].lst) continue;
			int c = 0;
			for (int u = i; u; u = lk[u].nxt, c++) 
				vis[u] = 1;
			if (c & 1) cnt[1]++; else cnt[0]++;
		}
		bool flag = 0;
		for (int i = 1; i <= n; i++) {
			if (vis[i]) continue;
			int c = 0;
			for (int u = i; !vis[u]; u = lk[u].nxt, c++) vis[u] = 1;
			if (c & 1) {flag = 1; break;}
		}
		if (flag || cnt[1] & 1) {puts("0"); return 0;}
		int ans = 0, k = f[cnt[1]];
		for (int i = 0; i <= cnt[0]; i++) {
			ans = add(ans, mul(binom(cnt[0], i), mul(k, fac[cnt[0] - i])));
			k = mul(k, add(cnt[1], i));
		}
		printf ("%d\n", ans);
		return 0;
	}
}

int main () {
	string str = "permutation";
	freopen((str + ".in").c_str(), "r", stdin);
	freopen((str + ".out").c_str(), "w", stdout);
	Main::main();
	return 0;
}